微分積分例

$\frac{t}{7 + t^{2}}$

ステップ 1

$f (t) = t$ および $g (t) = 7 + t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(7 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(7 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$7 + t^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $7 + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{7 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$7$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{7 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ をたし算します。

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7 + t^{2} - t (2 t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 3

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 4

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 7

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$\frac{7 - t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{- t^{2} + 7}{{(t^{2} + 7)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例