微分積分例

${(20 \cos (100 t))}^{2}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$20$ を $20 \cos (100 t)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [{(20 (\cos (100 t)))}^{2}]$

ステップ 1.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の法則を $20 (\cos (100 t))$ に当てはめます。

$\frac{d}{d t} [20^{2} \cos^{2} (100 t)]$

ステップ 1.2.2

$20$ を $2$ 乗します。

$\frac{d}{d t} [400 \cos^{2} (100 t)]$

ステップ 1.3

$400$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $400 \cos^{2} (100 t)$ の微分係数は $400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$ です。

$400 \frac{d}{d t} [\cos^{2} (100 t)]$

ステップ 2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \cos (100 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (100 t)$ とします。

$400 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$400 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (100 t)$ で置き換えます。

$400 (2 \cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

ステップ 3

$2$ に $400$ をかけます。

$800 (\cos (100 t) \frac{d}{d t} [\cos (100 t)])$

ステップ 4

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 100 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $100 t$ とします。

$800 \cos (100 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [100 t])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$800 \cos (100 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [100 t])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $100 t$ で置き換えます。

$800 \cos (100 t) (- \sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $800$ をかけます。

$- 800 \cos (100 t) (\sin (100 t) \frac{d}{d t} [100 t])$

ステップ 5.2

$100$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $100 t$ の微分係数は $100 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 800 \cos (100 t) \sin (100 t) (100 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5.3

$100$ に $- 800$ をかけます。

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t) \cdot 1$

ステップ 5.5

$- 80000$ に $1$ をかけます。

$- 80000 \cos (100 t) \sin (100 t)$

微分積分 例

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