微分積分例

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{1}{4} t^{2}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2.3

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2.4

$\frac{2}{4}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \ln (t + 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ です。

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

ステップ 3.2

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = t + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t + 1$ とします。

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $t + 1$ で置き換えます。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

ステップ 3.3

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

ステップ 3.5

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

ステップ 3.7

$\frac{1}{t + 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{t}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t + 1}{t + 1}$ を掛けます。

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{t + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (t + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{t}{2}$ に $\frac{t + 1}{t + 1}$ をかけます。

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{t + 1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

ステップ 4.3.3

$(t + 1) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$

微分積分 例

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