微分積分例

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 1

$f (t) = 10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ および $g (t) = 6000 + 500 t + 10 t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) \frac{d}{d t} [6000 + 500 t + 10 t^{2}] + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6000 + 500 t + 10 t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.2

$6000$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $6000$ の微分係数は $0$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [500 t]$ をたし算します。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.4

$500$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $500 t$ の微分係数は $500 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.6

$500$ に $1$ をかけます。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.7

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $10 t^{2}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 (2 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.9

$2$ に $10$ をかけます。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

ステップ 2.10

総和則では、 $10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}]$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

ステップ 2.11

$10$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

ステップ 2.12

$0$ と $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ をたし算します。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

ステップ 2.13

$0.2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $0.2 t$ の微分係数は $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

ステップ 2.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

ステップ 2.15

$0.2$ に $1$ をかけます。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

ステップ 2.16

$0.01$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $0.01 t^{2}$ の微分係数は $0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 2.17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 (2 t))$

ステップ 2.18

$2$ に $0.01$ をかけます。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$1$ を $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ で因数分解します。

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

ステップ 3.1.2

$1$ を $(6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ で因数分解します。

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

ステップ 3.1.3

$1$ を $1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$ で因数分解します。

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

ステップ 3.2

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ に $1$ をかけます。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ を展開します。

$10 \cdot 500 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$10$ に $500$ をかけます。

$5000 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.2

$20$ に $10$ をかけます。

$5000 + 200 t + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.3

$500$ に $0.2$ をかけます。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t \cdot t + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.5

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.5.1

$t$ を移動させます。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 (t \cdot t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.5.2

$t$ に $t$ をかけます。

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.6

$0.2$ に $20$ をかけます。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.7

$500$ に $0.01$ をかけます。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{2} t + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.9

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.9.1

$t$ を移動させます。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t \cdot t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.9.2

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.9.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t^{1} t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{1 + 2} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.9.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.2.10

$0.01$ に $20$ をかけます。

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.3

$200 t$ と $100 t$ をたし算します。

$5000 + 300 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.4

$4 t^{2}$ と $5 t^{2}$ をたし算します。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

ステップ 3.4.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$ を展開します。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 0.2 \cdot 6000 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$0.2$ に $6000$ をかけます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.2

$500$ に $0.2$ をかけます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.3

$10$ に $0.2$ をかけます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.4

$6000$ に $0.02$ をかけます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t \cdot t + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.6

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.6.1

$t$ を移動させます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 (t \cdot t) + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.6.2

$t$ に $t$ をかけます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.7

$0.02$ に $500$ をかけます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

ステップ 3.4.6.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t \cdot t^{2}$

ステップ 3.4.6.9

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.9.1

$t^{2}$ を移動させます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t)$

ステップ 3.4.6.9.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.9.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t^{1})$

ステップ 3.4.6.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{2 + 1}$

ステップ 3.4.6.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{3}$

ステップ 3.4.6.10

$0.02$ に $10$ をかけます。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

ステップ 3.4.7

$100 t$ と $120 t$ をたし算します。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 2 t^{2} + 220 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

ステップ 3.4.8

$2 t^{2}$ と $10 t^{2}$ をたし算します。

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

ステップ 3.5

$5000$ と $1200$ をたし算します。

$300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

ステップ 3.6

$300 t$ と $220 t$ をたし算します。

$9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 520 t + 0.2 t^{3}$

ステップ 3.7

$9 t^{2}$ と $12 t^{2}$ をたし算します。

$21 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 520 t + 0.2 t^{3}$

ステップ 3.8

$0.2 t^{3}$ と $0.2 t^{3}$ をたし算します。

$21 t^{2} + 0.4 t^{3} + 6200 + 520 t$

微分積分 例

微分積分例