微分積分例

$(1 + \sqrt{t}) (2 t^{2} - 3)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 t^{2} - 3)]$

ステップ 2

$f (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 2 t^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 3] + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 t^{2} - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.5

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + 0) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$4 t$ と $0$ をたし算します。

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.6.2

$4$ を $1 + t^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$4 \cdot (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.7

総和則では、 $1 + t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.8

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.9

$0$ と $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.10

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$(4 \cdot 1 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4

項をまとめます。

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ステップ 11.4.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.2

$t$ を $1$ 乗します。

$4 t + 4 (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 t + 4 t^{1 + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$4 t + 4 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.5

公分母の分子をまとめます。

$4 t + 4 t^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.7

$2$ と $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{2} \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.8

$t^{2}$ と $\frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{t^{2} \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.9

$2$ を $t^{2}$ の左に移動させます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.10

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $t^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.11

指数を足して $t^{2}$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.4.11.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{2})}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.11.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.11.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.11.5

公分母の分子をまとめます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.11.6

分子を簡約します。

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ステップ 11.4.11.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.11.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.12

共通因数を約分します。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.13

$t^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.14

$- 3$ と $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.15

分数の前に負数を移動させます。

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.4.16

$4 t^{\frac{3}{2}}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をたし算します。

$4 t + 5 t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例