微分積分例

${(e^{t^{2}} + 5 t)}^{3}$

ステップ 1

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = e^{t^{2}} + 5 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{t^{2}} + 5 t$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{t^{2}} + 5 t$ で置き換えます。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} + 5 t]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{t^{2}} + 5 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ です。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t^{2}$ とします。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + \frac{d}{d t} [5 t])$

ステップ 4.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5 \cdot 1)$

ステップ 4.4

$5$ に $1$ をかけます。

$3 {(e^{t^{2}} + 5 t)}^{2} (e^{t^{2}} (2 t) + 5)$

微分積分 例