微分積分例

$\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{\sqrt{t}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$t^{2}$ を $t^{3} + 2 t^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$t^{2}$ を $t^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$t^{2}$ を $2 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + t^{2} \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3

$t^{2}$ を $t^{2} t + t^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t + 2)}{t^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $t^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{d}{d t} [t^{2} (t + 2) t^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 4

指数を足して $t^{2}$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}} t^{2} (t + 2)]$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2} (t + 2)]$

ステップ 4.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (t + 2)]$

ステップ 4.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 4}{2}} (t + 2)]$

ステップ 4.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}} (t + 2)]$

ステップ 5

$f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ および $g (t) = t + 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2] + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $t + 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ です。

$t^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 6.3

$2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$t^{\frac{3}{2}} (1 + 0) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 6.4

式を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$t^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 6.4.2

$t^{\frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 6.5

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 10.2

$3$ から $2$ を引きます。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11

$\frac{3}{2}$ と $t^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$t^{\frac{3}{2}} + t \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2

項をまとめます。

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ステップ 12.2.1

$t$ と $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{t (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2.2

$t$ を $1$ 乗します。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2.5

公分母の分子をまとめます。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2.7

$2$ と $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 12.2.8

$3$ に $2$ をかけます。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12.2.9

$2$ を $6 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 12.2.10

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.10.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 12.2.10.2

共通因数を約分します。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.2.10.3

式を書き換えます。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 12.2.10.4

$3 t^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 12.2.11

$t^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 12.2.12

$t^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 12.2.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 12.2.14

$2$ を $t^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 12.2.15

$2 t^{\frac{3}{2}}$ と $3 t^{\frac{3}{2}}$ をたし算します。

$\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 12.3

項を並べ替えます。

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

微分積分 例

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