微分積分例

${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = t^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $t^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

ステップ 7

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 9

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + 0)$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t)$

ステップ 10.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} t$

ステップ 10.3

$\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5

式を書き換えます。

$\frac{t}{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例