微分積分例

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 7})}^{2}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ で置き換えます。

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

ステップ 2

$2$ と $\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}$ をまとめます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 7}]$

ステップ 3

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = t^{8} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{(t^{8} + 7) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 7]}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{(t^{8} + 7) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 7]}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2

$3$ を $t^{8} + 7$ の左に移動させます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 7]}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $t^{8} + 7$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [7]$ です。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [7])}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [7])}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.5

$7$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$8 t^{7}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 5

指数を足して $t^{3}$ に $t^{7}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$t^{7}$ を移動させます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 5.3

$7$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7} \cdot \frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 6

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 7}$ に $\frac{3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 7)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 7) {(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 7

指数を足して $t^{8} + 7$ に ${(t^{8} + 7)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$t^{8} + 7$ に ${(t^{8} + 7)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.1.1

$t^{8} + 7$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{1} {(t^{8} + 7)}^{2}}$

ステップ 7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{1 + 2}}$

ステップ 7.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 7) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 7 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

指数を足して $t^{3}$ に $t^{8}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.1.1

$t^{8}$ を移動させます。

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.1.3

$8$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.3

指数を足して $t^{11}$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.3.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.3.3

$2$ と $11$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 7 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.6

指数を足して $t^{3}$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.6.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.6.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 7 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.7

$2 \cdot 3 \cdot 7$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.7.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{13} + 6 \cdot 7 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.7.2

$6$ に $7$ をかけます。

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.9

指数を足して $t^{3}$ に $t^{10}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.9.1

$t^{10}$ を移動させます。

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.9.3

$10$ と $3$ をたし算します。

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.1.10

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{6 t^{13} + 42 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.4.2

$6 t^{13}$ から $16 t^{13}$ を引きます。

$\frac{- 10 t^{13} + 42 t^{5}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.5

$2 t^{5}$ を $- 10 t^{13} + 42 t^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 8.5.1

$2 t^{5}$ を $- 10 t^{13}$ で因数分解します。

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 42 t^{5}}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.5.2

$2 t^{5}$ を $42 t^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.5.3

$2 t^{5}$ を $2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (21)$ で因数分解します。

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.6

$- 1$ を $- 5 t^{8}$ で因数分解します。

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.7

$21$ を $- 1 (- 21)$ に書き換えます。

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 21))}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.8

$- 1$ を $- (5 t^{8}) - 1 (- 21)$ で因数分解します。

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 21))}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.9

$- (5 t^{8} - 21)$ を $- 1 (5 t^{8} - 21)$ に書き換えます。

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 21))}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

ステップ 8.11

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 21)}{{(t^{8} + 7)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例