微分積分例

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{x}}{h}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{x + h} x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

ステップ 1.3.3

$\sqrt{x + h} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{x}{x \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

ステップ 1.5

$\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ に $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

ステップ 1.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.6.1

$\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ に $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ をかけます。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}}{h}$

ステップ 1.6.2

$\sqrt{x + h}$ を移動させます。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (\sqrt{x + h} \sqrt{x + h})}}{h}$

ステップ 1.6.3

$\sqrt{x + h}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}}{h}$

ステップ 1.6.4

$\sqrt{x + h}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}}{h}$

ステップ 1.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}}{h}$

ステップ 1.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{2}}}{h}$

ステップ 1.6.7

${\sqrt{x + h}}^{2}$ を $x + h$ に書き換えます。

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ステップ 1.6.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + h}$ を ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

ステップ 1.6.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

ステップ 1.6.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

ステップ 1.6.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

ステップ 1.6.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{1}}}{h}$

ステップ 1.6.7.5

簡約します。

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.8

$- \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ を掛けます。

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ステップ 1.8.1

$\sqrt{x + h}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.8.2

$\sqrt{x + h}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.9

各項を簡約します。

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ステップ 1.9.1

${\sqrt{x + h}}^{2}$ を $x + h$ に書き換えます。

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ステップ 1.9.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + h}$ を ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.9.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.9.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.9.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{1}}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.9.1.5

簡約します。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$

ステップ 4

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x h (x + h)}$

微分積分 例

微分積分例