微分積分例

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 < 9 x - 6$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $9 x$ を引きます。

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 - 9 x < - 6$

ステップ 1.2

$- 8 x$ から $9 x$ を引きます。

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 < - 6$

ステップ 2

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 2.1

不等式の両辺に $6$ を足します。

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 + 6 < 0$

ステップ 2.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 < 0$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = - 8$ 、 $b = - 17$ 、および $c = 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 8 \cdot 8)}}{2 \cdot - 8}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 17$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot - 8 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 32 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

ステップ 6.1.2.2

$32$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 256}}{2 \cdot - 8}$

ステップ 6.1.3

$289$ と $256$ をたし算します。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{2 \cdot - 8}$

ステップ 6.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{- 16}$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{17 \pm \sqrt{545}}{16}$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}, - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$- 8 {(- 5)}^{2} - 8 \cdot - 5 + 2 < 9 (- 5) - 6$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 158$ は右辺 $- 51$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 8 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 2 < 9 (0) - 6$

ステップ 9.2.3

左辺 $2$ は右辺 $- 6$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$- 8 {(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 2 < 9 (3) - 6$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 94$ は右辺 $21$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ 真

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ 偽

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ 真

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ 真

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ 偽

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ または $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16} or x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}) \cup (- \frac{17 - \sqrt{545}}{16}, \infty)$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例