微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} + 8}{x + 2}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 1$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} + 2^{3}}{x + 2}$

ステップ 6.1.1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x + 2}$

ステップ 6.1.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x + 2}$

ステップ 6.1.1.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

ステップ 6.1.2

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

ステップ 6.1.2.2

$x^{2} - 2 x + 4$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - 2 x + 4$

ステップ 6.2

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x^{2} - 2 x + 4$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x^{2} - 2 x + 4$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例