微分積分例

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x + 1)}^{3}$ です。

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.5

${(x + 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.5.2

$2 x - 1$ を $1$ で割ります。

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

${(x + 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.2

${(x + 1)}^{3}$ と ${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

${(x + 1)}^{2}$ を $(B) {(x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.2.1

$1$ を掛けます。

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.2.2.4

$B (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.4

$B$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

ステップ 1.6.5

${(x + 1)}^{3}$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.5.1

$x + 1$ を $(C) {(x + 1)}^{3}$ で因数分解します。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

ステップ 1.6.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.5.2.1

$1$ を掛けます。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.6.5.2.2

共通因数を約分します。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

ステップ 1.6.5.2.3

式を書き換えます。

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

ステップ 1.6.5.2.4

$C {(x + 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

ステップ 1.6.6

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

ステップ 1.6.7

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.6.7.1

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

ステップ 1.6.7.2

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

ステップ 1.6.7.3

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 1.6.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.8.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 1.6.8.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

ステップ 1.6.8.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

ステップ 1.6.8.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

ステップ 1.6.8.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

ステップ 1.6.9

分配則を当てはめます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

ステップ 1.6.10

簡約します。

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ステップ 1.6.10.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

ステップ 1.6.10.2

$C$ に $1$ をかけます。

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

ステップ 1.7

式を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$B$ を移動させます。

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

ステップ 1.7.2

$A$ を移動させます。

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

ステップ 1.7.3

$B x$ と $C x^{2}$ を並べ替えます。

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = B + 2 C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = A + B + C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

ステップ 3.2

各方程式の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 = B + 2 C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$B + 2 (0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

ステップ 3.2.2.1.2

$B$ と $0$ をたし算します。

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

ステップ 3.2.3

$- 1 = A + B + C$ の $C$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

ステップ 3.2.4

$- 1 = A + B + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1.1

括弧を削除します。

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

ステップ 3.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$A + B$ と $0$ をたし算します。

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

ステップ 3.3

方程式を $B = 2$ として書き換えます。

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 1 = A + B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

括弧を削除します。

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.5

$- 1 = A + 2$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $A + 2 = - 1$ として書き換えます。

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.5.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.5.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

ステップ 3.6

連立方程式を解きます。

$A = - 3 B = 2 C = 0$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = - 3, B = 2, C = 0$

ステップ 4

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

微分積分 例

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