微分積分例

$\frac{x^{3}}{x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 27}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x^{3}}{(x^{3} - 3 x^{2}) + 9 x - 27}$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x^{3}}{x^{2} (x - 3) + 9 (x - 3)}$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x^{3}}{(x - 3) (x^{2} + 9)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 3}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 3) (x^{2} + 9)$ です。

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.5

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} (x - 3) (x^{2} + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.6

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.6.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x^{3} = \frac{A (x - 3) (x^{2} + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (x^{2} + 9)$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.7.3

$9$ を $A$ の左に移動させます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.7.4

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

共通因数を約分します。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.7.4.2

$(B x + C) (x - 3)$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

ステップ 1.7.5

分配法則（FOIL法）を使って $(B x + C) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

ステップ 1.7.5.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

ステップ 1.7.5.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.7.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.6.1.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.7.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.7.6.2

$- 3$ を $B x$ の左に移動させます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

ステップ 1.7.6.3

$- 3$ を $C$ の左に移動させます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

ステップ 1.8

式を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$B$ を移動させます。

$x^{3} = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

ステップ 1.8.2

$9 A$ を移動させます。

$x^{3} = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 3 B + C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 9 A - 3 C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$0 = A + B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = 9 A - 3 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0 = 9 A - 3 C$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$0 = 9 (- B) - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$0 = - 3 B + C$

ステップ 3.3

$0 = - 3 B + C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- 3 B + C = 0$ として書き換えます。

$- 3 B + C = 0$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $3 B$ を足します。

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$C = 3 B$

$0 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

ステップ 3.4

各方程式の $C$ のすべての発生を $3 B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$0 = - 9 B - 3 C$ の $C$ のすべての発生を $3 B$ で置き換えます。

$0 = - 9 B - 3 (3 B)$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 9 B - 3 (3 B)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$3$ に $- 3$ をかけます。

$0 = - 9 B - 9 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 9 B$ から $9 B$ を引きます。

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

$0 = - 18 B$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.5

$0 = - 18 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $- 18 B = 0$ として書き換えます。

$- 18 B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2

$- 18 B = 0$ の各項を $- 18$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$- 18 B = 0$ の各項を $- 18$ で割ります。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$- 18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = \frac{0}{- 18}$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

$0$ を $- 18$ で割ります。

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

$B = 0$

$C = 3 B$

$A = - B$

ステップ 3.6

各方程式の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$C = 3 B$ の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$C = 3 (0)$

$B = 0$

$A = - B$

ステップ 3.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

$C = 0$

$B = 0$

$A = - B$

ステップ 3.6.3

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$A = - (0)$

$C = 0$

$B = 0$

ステップ 3.6.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

$A = 0$

$C = 0$

$B = 0$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = 0, C = 0, B = 0$

ステップ 4

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 9}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$(0) \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{x - 3} + \frac{(0) \cdot x}{x^{2} + 9}$

ステップ 5.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{0}{x - 3} + \frac{0}{x^{2} + 9}$

微分積分 例

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