微分積分例

$\frac{- 4 s^{2} + s + 1}{s (s^{2} + 1)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $s (s^{2} + 1)$ です。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.3

$s$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s (s^{2} + 1))}{s (s^{2} + 1)} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.4

$s^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 4 s^{2} + s + 1) (s^{2} + 1)}{s^{2} + 1} = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.4.2

$- 4 s^{2} + s + 1$ を $1$ で割ります。

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.5

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1

$s$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$- 4 s^{2} + s + 1 = \frac{A (s (s^{2} + 1))}{s} + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.5.1.2

$A (s^{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A (s^{2} + 1) + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.5.3

$A$ に $1$ をかけます。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.5.4

$s^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + \frac{(B s + C) (s (s^{2} + 1))}{s^{2} + 1}$

ステップ 1.5.4.2

$(B s + C) (s)$ を $1$ で割ります。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + (B s + C) (s)$

ステップ 1.5.5

分配則を当てはめます。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s \cdot s + C s$

ステップ 1.5.6

指数を足して $s$ に $s$ を掛けます。

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ステップ 1.5.6.1

$s$ を移動させます。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B (s \cdot s) + C s$

ステップ 1.5.6.2

$s$ に $s$ をかけます。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + A + B s^{2} + C s$

ステップ 1.6

$A$ を移動させます。

$- 4 s^{2} + s + 1 = A s^{2} + B s^{2} + C s + A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $s^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 4 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $s$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = C$

ステップ 2.3

式の両辺から $s$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

$- 4 = A + B$

$1 = C$

$1 = A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $C = 1$ として書き換えます。

$C = 1$

$- 4 = A + B$

$1 = A$

ステップ 3.2

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = A + B$

ステップ 3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 3.3.1

$- 4 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$- 4 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 1$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

括弧を削除します。

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

$- 4 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 1$

ステップ 3.4

$- 4 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $1 + B = - 4$ として書き換えます。

$1 + B = - 4$

$A = 1$

$C = 1$

ステップ 3.4.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = - 4 - 1$

$A = 1$

$C = 1$

ステップ 3.4.2.2

$- 4$ から $1$ を引きます。

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

$B = - 5$

$A = 1$

$C = 1$

ステップ 3.5

連立方程式を解きます。

$B = - 5 A = 1 C = 1$

ステップ 3.6

すべての解をまとめます。

$B = - 5, A = 1, C = 1$

ステップ 4

$\frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{s} + \frac{- 5 s + 1}{s^{2} + 1}$

微分積分 例

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