微分積分例

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$π (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $π$ の左に移動させます。

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

ステップ 2.2.1.2

$- 1 π$ を $- π$ に書き換えます。

$π x - π \geq \arcsin (0)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$π x - π \geq 0$

ステップ 2.4

不等式の両辺に $π$ を足します。

$π x \geq π$

ステップ 2.5

$π x \geq π$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$π x \geq π$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

ステップ 2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{π}{π}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$x \geq \frac{π}{π}$

ステップ 2.5.3.1.2

式を書き換えます。

$x \geq 1$

ステップ 2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$π x - π = π - 0$

ステップ 2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 2.7.1

$π$ から $0$ を引きます。

$π x - π = π$

ステップ 2.7.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.7.2.1

方程式の両辺に $π$ を足します。

$π x = π + π$

ステップ 2.7.2.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$π x = 2 π$

ステップ 2.7.3

$π x = 2 π$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.3.1

$π x = 2 π$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

ステップ 2.7.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.3.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

ステップ 2.7.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2 π}{π}$

ステップ 2.7.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.3.3.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 π}{π}$

ステップ 2.7.3.3.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 2.8

$\sin (π (x - 1))$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.2

周期の公式の $b$ を $π$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| π |}$

ステップ 2.8.3

$π$ は約 $3.14159265$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 2.8.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 2.8.4.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 2.9

$\sin (π (x - 1))$ 関数の周期が $2$ なので、両方向で $2$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.10

答えをまとめます。

$x = 1 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

ステップ 2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.12.1

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.1.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

ステップ 2.12.1.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.12.2

区間 $1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.2.1

区間 $1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.5$

ステップ 2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $1.5$ で置き換えます。

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

ステップ 2.12.2.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.12.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 真

ステップ 2.13

解はすべての真の区間からなります。

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\sqrt{4 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 - x^{2} \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 4$

ステップ 4.2

$- x^{2} \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- x^{2} \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 4$

ステップ 4.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

ステップ 4.4

方程式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{4}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$\sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 2 |$

ステップ 4.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | \leq 2$

ステップ 4.5

$| x | \leq 2$ を区分で書きます。

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ステップ 4.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 2$

ステップ 4.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 4.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 2$

ステップ 4.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 4.6

$x \leq 2$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 2$

ステップ 4.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 2$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$- x \leq 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.7.1.1

$- x \leq 2$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.7.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.7.1.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 2$

ステップ 4.7.2

$x \geq - 2$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 2 \leq x < 0$

ステップ 4.8

解の和集合を求めます。

$- 2 \leq x \leq 2$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例