微分積分例

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$

ステップ 1

$\ln (x^{2} - 2 x + 1)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 2 x + 1 > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

ステップ 2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 2.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1$

$x > 1$

ステップ 2.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.6.1

区間 $x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.1.1

区間 $x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.6.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1 > 0$

ステップ 2.6.1.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

真

ステップ 2.6.2

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.6.2.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 1 > 0$

ステップ 2.6.2.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

真

ステップ 2.6.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1$ 真

$x > 1$ 真

$x < 1$ 真

$x > 1$ 真

ステップ 2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x < 1$ または $x > 1$

$x < 1$ または $x > 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1}$

ステップ 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$