微分積分例

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}$

ステップ 1

$\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} - 3 x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 3 x = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $x (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $10$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.2

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.8.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $18$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 0$ または $x \geq 3$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[4]{x^{2} - 3 x} = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}^{4} = 0^{4}$

ステップ 4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}$ を ${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

ステップ 4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - 3 x)}^{1} = 0^{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

簡約します。

$x^{2} - 3 x = 0^{4}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 3 x = 0$

ステップ 4.3.1.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.3.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (x - 3) = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.3.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.3.5

最終解は $x (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < 0, x > 3}$

ステップ 6

微分積分 例

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