微分積分例

$y = \frac{3 \cos (x)}{5 x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = 3 \cos (x)$ および $g (x) = 5 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{5 x^{3} \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{5 x^{3} (3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{5 x^{3} (3 (- \sin (x))) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 (3 x^{2}))}{{(5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.4

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{{(5 x^{3})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $5 x^{3}$ に当てはめます。

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$15$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.2.2

$- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

ステップ 5.4

$15 x^{2}$ を $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$15 x^{2}$ を $- 15 x^{3} \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

ステップ 5.4.2

$15 x^{2}$ を $- 45 x^{2} \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

ステップ 5.4.3

$15 x^{2}$ を $15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

ステップ 5.5

$15$ と $25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

$5$ を $15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{25 x^{6}}$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1

$5$ を $25 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

ステップ 5.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

ステップ 5.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{6}}$

ステップ 5.6

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$x^{2}$ を $3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 x^{6}}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1

$x^{2}$ を $5 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

ステップ 5.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

ステップ 5.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- x \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

ステップ 5.8

$- 1$ を $- 3 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - (3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

ステップ 5.10

$- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ を $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

ステップ 5.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

微分積分 例

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