微分積分例

$g (x) = \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = 8 x^{3} - 1$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1] - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $8 x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x - 1) (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2} + 0) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$24 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x - 1) (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) + (- (8 x^{3}) - - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (24 x^{2}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot 24 x \cdot x^{2} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 7.4.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cdot 24 (x^{2} x^{1}) - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cdot 24 x^{2 + 1} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 24 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.3

$2$ に $24$ をかけます。

$\frac{48 x^{3} - 1 (24 x^{2}) - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.4

$24$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - (8 x^{3}) \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.5

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x^{3} \cdot 2 - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.6

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} - - 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.7

$- - 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 1 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.1.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{48 x^{3} - 24 x^{2} - 16 x^{3} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4.2

$48 x^{3}$ から $16 x^{3}$ を引きます。

$\frac{32 x^{3} - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5

$2$ を $32 x^{3} - 24 x^{2} + 2$ で因数分解します。

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ステップ 7.5.1

$2$ を $32 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (16 x^{3}) - 24 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.2

$2$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.4

$2$ を $2 (16 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.5

$2$ を $2 (16 x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (16 x^{3} - 12 x^{2} + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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