微分積分例

$f (x) = \frac{3 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{2} \tan (x)$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} \tan (x)] - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} \tan (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)]$ です。

$\frac{\sec (x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)]) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x))) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) (3 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x))) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 \tan (x) x) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 7

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x) + 6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) (3 x^{2} \sec^{2} (x)) + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 \sec (x) x^{2} \sec^{2} (x) + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.2

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1.2.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{3 (\sec^{2} (x) \sec (x)) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.2.2

$\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ をかけます。

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ステップ 8.2.1.2.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 {\sec (x)}^{2 + 1} x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + \sec (x) (6 x \tan (x)) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 1 \cdot 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.5

$- 3 x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.5.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.5.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.2.2

$3 \sec^{3} (x) x^{2} + 6 \sec (x) x \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} \sec^{3} (x) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3 x \sec (x)$ を $3 x^{2} \sec^{3} (x) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.1.1

$3 x \sec (x)$ を $3 x^{2} \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 6 x \sec (x) \tan (x) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.2

$3 x \sec (x)$ を $6 x \sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x)) - 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.3

$3 x \sec (x)$ を $- 3 x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.4

$3 x \sec (x)$ を $3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x)) + 3 x \sec (x) (2 \tan (x))$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.1.5

$3 x \sec (x)$ を $3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x)) + 3 x \sec (x) (- x \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) + 2 \tan (x) - x \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.2

$- x \tan^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{3 x \sec (x) (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.3

$x$ を $x \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.4

$x$ を $- x \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.5

$x$ を $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{3 x \sec (x) (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{3 x \sec (x) (x \cdot 1 + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.3.7

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x \sec (x) (x + 2 \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.4

$\sec (x)$ と $\sec^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

$\sec (x)$ を $3 x \sec (x) (x + 2 \tan (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.2.1

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec (x) \sec (x)}$

ステップ 8.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sec (x) (3 x (x + 2 \tan (x)))}{\sec (x) \sec (x)}$

ステップ 8.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

微分積分 例

微分積分例