微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} + 3 x + 2$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x + 2] - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$3 x^{2} + 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) + (- x^{3} - (3 x) - 1 \cdot 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 3) - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.3

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2

$3 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 x^{4} + 0 - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.3

$3 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{3} x - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 (x \cdot x)) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x^{2}) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.8

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.10

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3 x^{4}$ から $2 x^{4}$ を引きます。

$\frac{x^{4} - 3 - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

分母を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

ステップ 5.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

ステップ 5.5.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例