微分積分例

$\frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 1}}$

ステップ 1

$f (x) = 14$ および $g (x) = \sqrt[3]{14 x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \frac{d}{d x} [14] - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{14 x + 1}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 2

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$14$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $14$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{14 x + 1}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{14 x + 1}$ を ${(14 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [{(14 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 14 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $14 x + 1$ とします。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $14 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{3}$ と ${(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{{(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 9

総和則では、 $14 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 10

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 x$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 12

$14$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 + 0))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$14$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 14)}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 14.2

$\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ と $14$ をまとめます。

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1.1

$\sqrt[3]{14 x + 1}$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 1 \cdot 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 15.1.1.2

$- 1$ に $14$ をかけます。

$\frac{0 - 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 15.1.1.3

$- 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

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ステップ 15.1.1.3.1

$- 14$ と $\frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{0 + \frac{- 14 \cdot 14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 15.1.1.3.2

$- 14$ に $14$ をかけます。

$\frac{0 + \frac{- 196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 15.1.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{0 - \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 15.1.2

$0$ から $\frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を引きます。

$\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

ステップ 15.2

項をまとめます。

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ステップ 15.2.1

${\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$

ステップ 15.2.2

$\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$ を積として書き換えます。

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$

ステップ 15.2.3

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$ に $\frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{196}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}} (3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 15.2.4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}$ を ${(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{196}{3 ({(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 15.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

ステップ 15.2.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

ステップ 15.2.7

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

微分積分 例

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