微分積分例

$\frac{7}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 1

$f (x) = 7$ および $g (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \frac{d}{d x} [7] - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$\sqrt[3]{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 1 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 9.1.1.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{0 - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 9.1.1.3

$- 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

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ステップ 9.1.1.3.1

$- 7$ と $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{0 + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 9.1.1.3.2

$- 7$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 9.1.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{0 - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$0$ から $\frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ を引きます。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}$

ステップ 9.2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}$

ステップ 9.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

ステップ 9.2.3

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$ を積として書き換えます。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

ステップ 9.2.4

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$ に $\frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{14}{\sqrt[3]{x^{4}} (3 x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 9.2.5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{4}}$ を $x^{\frac{4}{3}}$ に書き換えます。

$- \frac{14}{3 (x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 9.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2.7

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{4 + 1}{3}}}$

ステップ 9.2.8

$4$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{14}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例