微分積分例

$\frac{4 x}{x^{2} + 36}$

ステップ 1

$f (x) = 4 x$ および $g (x) = x^{2} + 36$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [4 x] - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 36) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2.4

総和則では、 $x^{2} + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2.6

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 36) \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot x^{2} + 36 \cdot 4 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$36$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 1 \cdot 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1 \cdot 4 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 4 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x^{2} + 144 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$4 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 4 x^{2} + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ を $- 4 x^{2} + 144$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2}) + 144}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$4$ を $144$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (36)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 (- x^{2} + 6^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- x^{2}$ と $6^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{4 (6^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 6$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{4 (6 + x) (6 - x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

微分積分 例

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