微分積分例

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 8 x - 16$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $8 x - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$8$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.6

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$8 x^{2}$ から $16 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

ステップ 5.5

$8 x$ を $- 8 x^{2} + 32 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$8 x$ を $- 8 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

ステップ 5.5.2

$8 x$ を $32 x$ で因数分解します。

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

ステップ 5.5.3

$8 x$ を $8 x (- x) + 8 x (4)$ で因数分解します。

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

ステップ 5.6

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$x$ を $8 x (- x + 4)$ で因数分解します。

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

ステップ 5.8

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

ステップ 5.10

$- (x - 4)$ を $- 1 (x - 4)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

ステップ 5.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$

微分積分 例

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