微分積分例

$\frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 1 + \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 5

$0$ と $\sec^{2} (x)$ をたし算します。

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$\sec (x) \tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.3.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3.2

$\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ をかけます。

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ステップ 6.2.1.3.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.2.1

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$\sec (x)$ を $\tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$\sec (x)$ を $- \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$\sec (x)$ を $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2.5

$\sec (x)$ を $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.3

$\tan^{2} (x)$ と $- \sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.4

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.5

$- 1$ を $\tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.6

$- 1$ を $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.9

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.10

$- 1$ を $\sec (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.11

$- 1 \sec (x)$ を $- \sec (x)$ に書き換えます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2

$\sec (x)$ を $- \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

微分積分 例

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