微分積分例

$x \sqrt{x}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sqrt{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10

項をまとめます。

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ステップ 10.1

$x$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 10.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

ステップ 10.4

$\sqrt{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x}$

微分積分 例

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