微分積分例

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

ステップ 1

$f (x) = 5 x^{2} - 1$ および $g (x) = 4 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 2

総和則では、 $4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

ステップ 4.3

総和則では、 $5 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 5.3

$2$ に $5$ をかけます。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

ステップ 6.2

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

ステップ 7.3

項をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

ステップ 7.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

ステップ 7.3.3

$10$ に $4$ をかけます。

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

ステップ 7.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

ステップ 7.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

ステップ 7.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

ステップ 7.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

ステップ 7.3.8

$10$ に $3$ をかけます。

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

ステップ 7.3.9

$20 x^{2}$ と $40 x^{2}$ をたし算します。

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$60 x^{2} + 30 x - 4$

微分積分 例

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