微分積分例

$y = {(5 x - 3)}^{4} {(6 x + 7)}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = {(5 x - 3)}^{4}$ および $g (x) = {(6 x + 7)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 7)}^{2}] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 2

${(6 x + 7)}^{2}$ を $(6 x + 7) (6 x + 7)$ に書き換えます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [(6 x + 7) (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(6 x + 7) (6 x + 7)$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7)] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$x$ を移動させます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4.1.3

$6$ に $6$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4.1.4

$7$ に $6$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4.1.5

$6$ に $7$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4.1.6

$7$ に $7$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 4.2

$42 x$ と $42 x$ をたし算します。

${(5 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 84 x + 49] + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $36 x^{2} + 84 x + 49$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]$ です。

${(5 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.2

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x^{2}$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

${(5 x - 3)}^{4} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x - 3)}^{4} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.4

$2$ に $36$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + \frac{d}{d x} [84 x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.5

$84$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $84 x$ の微分係数は $84 \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.7

$84$ に $1$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + \frac{d}{d x} [49]) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.8

$49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84 + 0) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 5.9

$72 x + 84$ と $0$ をたし算します。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [{(5 x - 3)}^{4}]$

ステップ 6

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 5 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x - 3$ とします。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

ステップ 6.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $5 x - 3$ で置き換えます。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 3])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

総和則では、 $5 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 7.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 7.4

$5$ に $1$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

ステップ 7.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} (5 + 0))$

ステップ 7.6

式を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$5$ と $0$ をたし算します。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (4 {(5 x - 3)}^{3} \cdot 5)$

ステップ 7.6.2

$5$ に $4$ をかけます。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + {(6 x + 7)}^{2} (20 {(5 x - 3)}^{3})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$20$ を ${(6 x + 7)}^{2}$ の左に移動させます。

${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 \cdot {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

ステップ 8.2

${(5 x - 3)}^{3}$ を ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 8.2.1

${(5 x - 3)}^{3}$ を ${(5 x - 3)}^{4} (72 x + 84)$ で因数分解します。

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + 20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$

ステップ 8.2.2

${(5 x - 3)}^{3}$ を $20 {(6 x + 7)}^{2} {(5 x - 3)}^{3}$ で因数分解します。

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$

ステップ 8.2.3

${(5 x - 3)}^{3}$ を ${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84)) + {(5 x - 3)}^{3} (20 {(6 x + 7)}^{2})$ で因数分解します。

${(5 x - 3)}^{3} ((5 x - 3) (72 x + 84) + 20 {(6 x + 7)}^{2})$

微分積分 例

微分積分例