微分積分例

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

ステップ 1

$f (r) = r$ および $g (r) = \sqrt{r^{2} + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ は $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{r^{2} + 1}$ を ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 3

$f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ および $g (r) = r^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ は $f' (g (r)) g' (r)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r^{2} + 1$ とします。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $r^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 9

総和則では、 $r^{2} + 1$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ です。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 11

$1$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 12

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$2 r$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 12.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r)}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 12.3

$\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $r$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 12.4

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 12.5

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$\sqrt{r^{2} + 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.1.2

$- r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.2.1

$\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $r$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r \cdot r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.2

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.3

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r^{1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1 + 1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.2

$\sqrt{r^{2} + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{r^{2} + 1}$ を ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.2

簡約します。

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.3

$r^{2}$ から $r^{2}$ を引きます。

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.1.4.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

ステップ 13.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

${\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}$ を $r^{2} + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{r^{2} + 1}$ を ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 13.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 13.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 13.2.1.5

簡約します。

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

ステップ 13.2.2

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

ステップ 13.2.3

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{r^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

ステップ 13.2.4

指数を足して ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $r^{2} + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1

${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $r^{2} + 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1.1

$r^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 13.2.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 13.2.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 13.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 13.2.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例