微分積分例

$f (x) = \frac{\cos (t)}{t^{5}}$

ステップ 1

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = t^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{t^{5} \frac{d}{d t} [\cos (t)] - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

ステップ 2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

ステップ 3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

ステップ 4.1.1.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}}{{(t^{5})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

$- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{{(t^{5})}^{2}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

${(t^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{5 \cdot 2}}$

ステップ 4.2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

ステップ 4.2.2

$t^{4}$ を $- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.2.1

$t^{4}$ を $- t^{5} \sin (t)$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

ステップ 4.2.2.2

$t^{4}$ を $- 5 t^{4} \cos (t)$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))}{t^{10}}$

ステップ 4.2.2.3

$t^{4}$ を $t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{10}}$

ステップ 4.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

$t^{4}$ を $t^{10}$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

ステップ 4.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

ステップ 4.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{- t \sin (t) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

ステップ 4.3

$- 1$ を $- t \sin (t)$ で因数分解します。

$\frac{- (t \sin (t)) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

ステップ 4.4

$- 1$ を $- 5 \cos (t)$ で因数分解します。

$\frac{- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))}{t^{6}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))$ で因数分解します。

$\frac{- (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

ステップ 4.6

$- (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ を $- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t \sin (t) + 5 \cos (t)}{t^{6}}$

微分積分 例

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