微分積分例

$\frac{t \sin (t)}{1 + t}$

ステップ 1

$f (t) = t \sin (t)$ および $g (t) = 1 + t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = \sin (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 3

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 4.2

$\sin (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $1 + t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 4.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + 1)}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 4.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.1

$t \cos (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.1.2.2

$\sin (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.1.2.3

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1.2.3.1

$t$ を移動させます。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.1.2.3.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

$t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.2.1

$t \sin (t)$ から $t \sin (t)$ を引きます。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.1.2.2

$t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例