微分積分例

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

ステップ 1

$f (t) = 18 t$ および $g (t) = t^{2} + 81$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$18$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $18 t$ の微分係数は $18 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2.3

$18$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2.4

総和則では、 $t^{2} + 81$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ です。

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2.6

$81$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $81$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$18$ を $t^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$81$ に $18$ をかけます。

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.1

$t$ を移動させます。

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1 \cdot 18 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.5.1

$- 1$ に $18$ をかけます。

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5.2

$- 18$ に $2$ をかけます。

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$18 t^{2}$ から $36 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$18$ を $- 18 t^{2} + 1458$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$18$ を $- 18 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$18$ を $1458$ で因数分解します。

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$18$ を $18 (- t^{2}) + 18 (81)$ で因数分解します。

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- t^{2}$ と $9^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 9$ であり、 $b = t$ です。

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

微分積分 例

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