微分積分例

$\frac{w^{2} + 1}{w^{2} - w - 6}$

ステップ 1

$f (w) = w^{2} + 1$ および $g (w) = w^{2} - w - 6$ のとき、 $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ は $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(w^{2} - w - 6) \frac{d}{d w} [w^{2} + 1] - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $w^{2} + 1$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]$ です。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + \frac{d}{d w} [1]) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 2.3

$1$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w + 0) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 2.4

$2 w$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) \frac{d}{d w} [w^{2} - w - 6]}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $w^{2} - w - 6$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6]$ です。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w + \frac{d}{d w} [- w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d w} [- w]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $- w$ の微分係数は $- \frac{d}{d w} [w]$ です。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + \frac{d}{d w} [- 6])}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 6$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1 + 0)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 4.2

$2 w - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(w^{2} - w - 6) (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) - (w^{2} + 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{w^{2} (2 w) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 w^{2} w - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

指数を足して $w^{2}$ に $w$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$w$ を移動させます。

$\frac{2 (w \cdot w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2

$w$ に $w^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.2.1

$w$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (w^{1} w^{2}) - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 w^{1 + 2} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 w^{3} - w (2 w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w \cdot w - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

指数を足して $w$ に $w$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

$w$ を移動させます。

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 (w \cdot w) - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

$w$ に $w$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 1 \cdot 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 6 (2 w) + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.6

$2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1 \cdot 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w + (- w^{2} - 1) (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.8

分配法則（FOIL法）を使って $(- w^{2} - 1) (2 w - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w - 1) - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w - 1)}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - w^{2} (2 w) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.9.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{2} w - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.2

指数を足して $w^{2}$ に $w$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.9.2.1

$w$ を移動させます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w \cdot w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.2.2

$w$ に $w^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.9.2.2.1

$w$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 (w^{1} w^{2}) - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{1 + 2} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 1 \cdot 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} - w^{2} \cdot - 1 - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.4

$- w^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.9.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + 1 w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.4.2

$w^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 1 (2 w) - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w - 1 \cdot - 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.9.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$2 w^{3} - 2 w^{2} - 12 w - 2 w^{3} + w^{2} - 2 w + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2 w^{3}$ から $2 w^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + 0 + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

$- 2 w^{2} - 12 w$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 w^{2} - 12 w + w^{2} - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$- 2 w^{2}$ と $w^{2}$ をたし算します。

$\frac{- w^{2} - 12 w - 2 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$- 12 w$ から $2 w$ を引きます。

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w^{2} - w - 6)}^{2}}$

ステップ 5.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

たすき掛けを利用して $w^{2} - w - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 5.4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{((w - 3) (w + 2))}^{2}}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $(w - 3) (w + 2)$ に当てはめます。

$\frac{- w^{2} - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- w^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (w^{2}) - 14 w + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

ステップ 5.6

$- 1$ を $- 14 w$ で因数分解します。

$\frac{- (w^{2}) - (14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- (w^{2}) - (14 w)$ で因数分解します。

$\frac{- (w^{2} + 14 w) + 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

ステップ 5.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- (w^{2} + 14 w) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

ステップ 5.10

$- (w^{2} + 14 w - 1)$ を $- 1 (w^{2} + 14 w - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (w^{2} + 14 w - 1)}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

ステップ 5.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{w^{2} + 14 w - 1}{{(w - 3)}^{2} {(w + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例