微分積分例

$\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{3 x^{2} - 2}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ および $g (x) = 3 x^{2} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} (3 x^{2})) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{3}{3} x^{2}) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 2.4

総和則では、 $3 x^{2} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + 0)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{3} x}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x \cdot x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 5.2.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x^{1} x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{1 + 3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.4.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.4.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2)) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.4.4

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

$3 x^{4}$ から $2 x^{4}$ を引きます。

$\frac{x^{4} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.3

$x^{2}$ を $x^{4} - 2 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$x^{2}$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

微分積分 例

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