微分積分例

$e^{x} (x^{2} + 1) (x + 4)$

ステップ 1

$f (x) = e^{x} (x^{2} + 1)$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$e^{x} (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

ステップ 2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) e^{x})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + 1 e^{x})$

ステップ 6.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + e^{x})$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x})$

ステップ 6.4

$2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$(e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$e^{x} x^{2} \cdot 1 + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

ステップ 7.3

項をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

ステップ 7.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

ステップ 7.3.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} + (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4) + e^{x}$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4)$ を展開します。

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} x + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.2.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.5.2.1.1

$x$ を移動させます。

$e^{x} x^{2} + 2 (x \cdot x) e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.5.2.3.1

$x$ を移動させます。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x \cdot x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1} x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1 + 2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.4

$4$ を $x^{2} e^{x}$ の左に移動させます。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 \cdot (x^{2} e^{x}) + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

ステップ 7.5.2.5

$4$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

ステップ 7.5.3

$2 x^{2} e^{x}$ と $4 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

ステップ 7.5.4

$8 x e^{x}$ と $e^{x} x$ をたし算します。

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ステップ 7.5.4.1

$e^{x}$ と $x$ を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

ステップ 7.5.4.2

$8 x e^{x}$ と $x e^{x}$ をたし算します。

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

ステップ 7.6

$e^{x} x^{2}$ と $6 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

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ステップ 7.6.1

$e^{x}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

ステップ 7.6.2

$x^{2} e^{x}$ と $6 x^{2} e^{x}$ をたし算します。

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

ステップ 7.7

$4 e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 5 e^{x}$

微分積分 例

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