微分積分例

$7 x^{2} {(6 x + 3)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = 7 x^{2}$ および $g (x) = {(6 x + 3)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x + 3)}^{4}] + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 6 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x + 3$ とします。

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x + 3]) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 3]) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $6 x + 3$ で置き換えます。

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 3]) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 + 0)) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} \cdot 6) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.6.2

$6$ に $4$ をかけます。

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

ステップ 3.7

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} (7 (2 x))$

ステップ 3.9

$2$ に $7$ をかけます。

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} (14 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$24$ に $7$ をかけます。

$168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3} + {(6 x + 3)}^{4} (14 x)$

ステップ 4.2

$14$ を ${(6 x + 3)}^{4}$ の左に移動させます。

$168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3} + 14 \cdot {(6 x + 3)}^{4} x$

ステップ 4.3

$14 x {(6 x + 3)}^{3}$ を $168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3} + 14 {(6 x + 3)}^{4} x$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$14 x {(6 x + 3)}^{3}$ を $168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3}$ で因数分解します。

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x) + 14 {(6 x + 3)}^{4} x$

ステップ 4.3.2

$14 x {(6 x + 3)}^{3}$ を $14 {(6 x + 3)}^{4} x$ で因数分解します。

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 3)}^{3} (6 x + 3)$

ステップ 4.3.3

$14 x {(6 x + 3)}^{3}$ を $14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 3)}^{3} (6 x + 3)$ で因数分解します。

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x + 6 x + 3)$

ステップ 4.4

$12 x$ と $6 x$ をたし算します。

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (18 x + 3)$

微分積分 例

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