微分積分例

$f (x) = (4 x + 7) (x^{3} - 2)$

ステップ 1

$f (x) = 4 x + 7$ および $g (x) = x^{3} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$(4 x + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 2.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(4 x + 7) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 2.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 2.5

総和則では、 $4 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) (4 + 0)$

ステップ 4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$(4 x + 7) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \cdot 4$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$4 x (3 x^{2}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x \cdot x^{2} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$12 (x^{2} x) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$12 (x^{2} x^{1}) + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{2 + 1} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$12 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3.3

$3$ に $7$ をかけます。

$12 x^{3} + 21 x^{2} + x^{3} \cdot 4 - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3.4

$4$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot 4$

ステップ 5.3.5

$- 2$ に $4$ をかけます。

$12 x^{3} + 21 x^{2} + 4 x^{3} - 8$

ステップ 5.3.6

$12 x^{3}$ と $4 x^{3}$ をたし算します。

$16 x^{3} + 21 x^{2} - 8$

微分積分 例

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