微分積分例

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 12 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$6 x - 12 + 0$

ステップ 1.1.2.4.2

$6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 12$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 12$ です。

$6 x - 12$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 12 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$6 x = 12$

ステップ 1.2.3

$6 x = 12$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$6 x = 12$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{12}{6}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$12$ を $6$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 6 (0) - 12$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$6$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 12$

ステップ 4.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f'' (0) = - 12$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 2)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = 6 (4) - 12$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$6$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = 24 - 12$

ステップ 5.2.2

$24$ から $12$ を引きます。

$f'' (4) = 12$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 5.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

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