微分積分例

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

ステップ 1

$f (t) = 1 - t^{2}$ および $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - \frac{3}{t^{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ です。

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 2.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{3}{t^{2}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ です。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{t^{2}}$ を ${(t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2}$ とします。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.5

${(t^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.7

$t$ を $1$ 乗します。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 3.10

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$6$ と $\frac{1}{t^{3}}$ をまとめます。

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 4.2.2

$0$ と $\frac{6}{t^{3}}$ をたし算します。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $1 - t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ です。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

ステップ 5.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

ステップ 6

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

ステップ 6.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

ステップ 7

$0$ から $2 t$ を引きます。

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3

項をまとめます。

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ステップ 8.3.1

$\frac{6}{t^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3.2

$\frac{6}{t^{3}}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3.3

$t^{2}$ と $t^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.1

$t^{2}$ を $6 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.2.1

$t^{2}$ を $t^{3}$ で因数分解します。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

ステップ 8.3.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

ステップ 8.3.6

$2$ と $\frac{3}{t^{2}}$ をまとめます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

ステップ 8.3.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

ステップ 8.3.8

$\frac{6}{t^{2}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

ステップ 8.3.9

$t$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.9.1

$t$ を $6 t$ で因数分解します。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

ステップ 8.3.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.9.2.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

ステップ 8.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

ステップ 8.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

ステップ 8.3.10

$- \frac{6}{t}$ と $\frac{6}{t}$ をたし算します。

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

ステップ 8.3.11

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

ステップ 8.4

項を並べ替えます。

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$

微分積分 例

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