微分積分例

${(5 x + 1)}^{5} {(4 x + 1)}^{- 2}$

ステップ 1

$f (x) = {(5 x + 1)}^{5}$ および $g (x) = {(4 x + 1)}^{- 2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{- 2}] + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 4 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x + 1$ とします。

${(5 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x + 1$ で置き換えます。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 3.4

$4$ に $1$ をかけます。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + 0)) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \cdot 4) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 3.6.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 {(4 x + 1)}^{- 3}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 \frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 4.2

$- 8$ と $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

${(5 x + 1)}^{5} \frac{- 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

ステップ 5

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = 5 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x + 1$ とします。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

ステップ 5.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x + 1$ で置き換えます。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 6.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 6.4

$5$ に $1$ をかけます。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 6.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + 0))$

ステップ 6.6

式を簡約します。

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ステップ 6.6.1

$5$ と $0$ をたし算します。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \cdot 5)$

ステップ 6.6.2

$5$ に $5$ をかけます。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

${(5 x + 1)}^{5}$ と $\frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{{(5 x + 1)}^{5} \cdot 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

ステップ 7.2.2

$8$ を ${(5 x + 1)}^{5}$ の左に移動させます。

$- \frac{8 \cdot {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

ステップ 7.2.3

$25$ と $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}} {(5 x + 1)}^{4}$

ステップ 7.2.4

$\frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}}$ と ${(5 x + 1)}^{4}$ をまとめます。

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.5

$\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ を掛けます。

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 x + 1}{4 x + 1}$

ステップ 7.2.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(4 x + 1)}^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.6.1

$\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ に $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ をかけます。

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} (4 x + 1)}$

ステップ 7.2.6.2

指数を足して ${(4 x + 1)}^{2}$ に $4 x + 1$ を掛けます。

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ステップ 7.2.6.2.1

${(4 x + 1)}^{2}$ に $4 x + 1$ をかけます。

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ステップ 7.2.6.2.1.1

$4 x + 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} {(4 x + 1)}^{1}}$

ステップ 7.2.6.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2 + 1}}$

ステップ 7.2.6.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

${(5 x + 1)}^{4}$ を $- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.1.1

${(5 x + 1)}^{4}$ を $- 8 {(5 x + 1)}^{5}$ で因数分解します。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.1.2

${(5 x + 1)}^{4}$ を $25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.1.3

${(5 x + 1)}^{4}$ を ${(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))$ で因数分解します。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1) + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x) - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.3

$5$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.4

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x) + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.6

$4$ に $25$ をかけます。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.7

$25$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.8

$- 40 x$ と $100 x$ をたし算します。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x - 8 + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

ステップ 7.3.9

$- 8$ と $25$ をたし算します。

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x + 17)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例