微分積分例

$\frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3.3 x^{- 2} + 3 x$

ステップ 1

この微分係数は積の法則を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

総和則では、 $\frac{0.2}{\sqrt{x}} - 3.3 x^{- 2} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{\sqrt{x}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{0.2}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.2

$0.2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{0.2}{x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $0.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$0.2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0.2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$0.2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$0.2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$0.2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.11

分数の前に負数を移動させます。

$0.2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$0.2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x^{- 1}$ をまとめます。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.14

指数を足して $x^{- \frac{1}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.14.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.14.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.14.4

公分母の分子をまとめます。

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.14.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.14.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.14.5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$0.2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.14.6

分数の前に負数を移動させます。

$0.2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$0.2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.16

$- 1$ に $0.2$ をかけます。

$- 0.2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.17

$- 0.2$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.18

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- 3.3 x^{- 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 3.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3.3 x^{- 2}$ の微分係数は $- 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ です。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 3.3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 3.3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.3

$- 2$ に $- 3.3$ をかけます。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3 \cdot 1$

ステップ 5.3

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 6.6 x^{- 3} + 3$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

項を並べ替えます。

$6.6 x^{- 3} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6.6 \frac{1}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2

$6.6$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.3

$0.2$ を $0.2$ で因数分解します。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2 (1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.4

$2$ を $2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.2 (1)}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 6.2.5

分数を分解します。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - (\frac{0.2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 6.2.6

$0.2$ を $2$ で割ります。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - (0.1 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 6.2.7

$0.1$ と $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{6.6}{x^{3}} + 3 - \frac{0.1}{x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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