微分積分例

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$ を ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}]$

ステップ 1.2

${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 4}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x - 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

ステップ 2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x - 5$ で置き換えます。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 3.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + 0)$

ステップ 3.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

ステップ 4.3

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$(- 2 x + 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.7

$- 2 x + 2$ に $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$2$ を $- 2 x + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.8.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- x) + 2 (1)) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.8.1.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.8.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.10

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.11

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.12

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

ステップ 4.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例