微分積分例

$y = \sqrt{\sec (x^{3})}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sec (x^{3})}$ を ${\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sec (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (x^{3})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (x^{3})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sec (x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {\sec (x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {\sec (x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (x^{3})]$

ステップ 8

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{1}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 8.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\sec (x^{3}) \tan (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$\sec (x^{3})$ と $\frac{1}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\sec (x^{3})}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 9.2

$\tan (x^{3})$ と $\frac{\sec (x^{3})}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\tan (x^{3}) \sec (x^{3})}{2 {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 9.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して ${\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\tan (x^{3}) \sec (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10

指数を足して $\sec (x^{3})$ に ${\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1

${\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\tan (x^{3}) ({\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \sec (x^{3}))}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.2

${\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ に $\sec (x^{3})$ をかけます。

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ステップ 10.2.1

$\sec (x^{3})$ を $1$ 乗します。

$\frac{\tan (x^{3}) ({\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (x^{3}))}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 10.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 11

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 x^{2})$

ステップ 12

分数をまとめます。

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ステップ 12.1

$3$ と $\frac{\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 (\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

ステップ 12.2

$\frac{3 (\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 (\tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}}) x^{2}}{2}$

ステップ 12.3

$3 \tan (x^{3}) {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} {\sec (x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x^{3})}{2}$

微分積分 例

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