微分積分例

${(\frac{y + 2}{3 - y})}^{3}$

ステップ 1

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = \frac{y + 2}{3 - y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{y + 2}{3 - y}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{y + 2}{3 - y}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

ステップ 2

$f (y) = y + 2$ および $g (y) = 3 - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \frac{d}{d y} [y + 2] - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $y + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + 0) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \cdot 1 - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$3 - y$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $3 - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.6

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (0 + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.7

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y]$ をたし算します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [- y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.8

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (- \frac{d}{d y} [y])}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.9

掛け算します。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + 1 (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.9.2

$y + 2$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \cdot 1}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.11

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.11.1

$y + 2$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + y + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.11.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 0 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.11.3

式を簡約します。

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ステップ 3.11.3.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.11.3.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(3 - y)}^{2}}$

ステップ 3.11.3.3

項を並べ替えます。

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{y + 2}{3 - y}$ に当てはめます。

$3 \frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$3$ と $\frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \cdot \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ に $\frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{3 {(y + 2)}^{2} \cdot 5}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2.4

項を並べ替えます。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

ステップ 4.2.5

指数を足して ${(- y + 3)}^{2}$ に ${(- y + 3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2 + 2}}$

ステップ 4.2.5.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例