微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

ステップ 5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 5.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 5.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

ステップ 8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

ステップ 9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

ステップ 10.2

$π$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$2$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.2.2

$π$ を $1$ で割ります。

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.3

$\frac{π}{2}$ と $\cos (π)$ をまとめます。

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.4

$\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.5

$\frac{π \cos (π)}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.7

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.8

$0$ に $\cos (0)$ をかけます。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.9

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.9.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.9.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.9.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.10

$- \frac{π \cos (π)}{4}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.11

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 10.3.12

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

ステップ 10.3.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

ステップ 10.3.14

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

ステップ 10.3.15

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

ステップ 10.3.15.2

式を書き換えます。

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

ステップ 10.3.16

$\sin (π) - \sin (0)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

ステップ 11.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

ステップ 11.3

$- π \cos (π) + \sin (π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

ステップ 11.4

$- 1$ を $- π \cos (π)$ で因数分解します。

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

ステップ 11.5

$- 1$ を $\sin (π)$ で因数分解します。

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

ステップ 11.6

$- 1$ を $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ で因数分解します。

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

ステップ 11.7

$- (π \cos (π) - \sin (π))$ を $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

ステップ 11.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

ステップ 12.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

ステップ 12.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

ステップ 12.4

$- 1$ を $π$ の左に移動させます。

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

ステップ 12.5

$- 1 π$ を $- π$ に書き換えます。

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

ステップ 12.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

ステップ 12.7

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{- π - 0}{4}$

ステップ 12.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{- π + 0}{4}$

ステップ 12.9

$- π$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{- π}{4}$

ステップ 12.10

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{π}{4}$

ステップ 12.11

$- - \frac{π}{4}$ を掛けます。

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ステップ 12.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{π}{4}$

ステップ 12.11.2

$\frac{π}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{4}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{4}$

10進法形式：

$0.78539816 \dots$

微分積分 例

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