微分積分例

$y = \ln (\arctan (6 x^{5}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \arctan (6 x^{5})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\arctan (6 x^{5})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\arctan (6 x^{5})$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 6 x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $6 x^{5}$ とします。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\arctan (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x^{5}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$6$ を $6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 (x^{5}))}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $6 (x^{5})$ に当てはめます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 6^{2} {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 3.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 3.2.3

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 3.2.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

ステップ 3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{5}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}]))$

ステップ 3.4

$6$ と $\frac{1}{1 + 36 x^{10}}$ をまとめます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 3.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} (5 x^{4}))$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$5$ と $\frac{6}{1 + 36 x^{10}}$ をまとめます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{5 \cdot 6}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

ステップ 3.6.2

$5$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{30}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

ステップ 3.6.3

$\frac{30}{1 + 36 x^{10}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{1 + 36 x^{10}}$

ステップ 3.6.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$

ステップ 3.6.5

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})}$ に $\frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$ をかけます。

$\frac{30 x^{4}}{\arctan (6 x^{5}) (36 x^{10} + 1)}$

微分積分 例

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