微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

ステップ 1

x切片を求めます。

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ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$ として書き換えます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$

ステップ 1.2.2

有理根検定を用いて $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 1.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 36, \pm 9, \pm 18, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 2.25$

ステップ 1.2.2.3

$4.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $4.5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.2.2.3.1

$4.5$ を多項式に代入します。

$4 \cdot {4.5}^{3} - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

ステップ 1.2.2.3.2

$4.5$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 91.125 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

ステップ 1.2.2.3.3

$4$ に $91.125$ をかけます。

$364.5 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

ステップ 1.2.2.3.4

$4.5$ を $2$ 乗します。

$364.5 - 24 \cdot 20.25 + 35 \cdot 4.5 - 36$

ステップ 1.2.2.3.5

$- 24$ に $20.25$ をかけます。

$364.5 - 486 + 35 \cdot 4.5 - 36$

ステップ 1.2.2.3.6

$364.5$ から $486$ を引きます。

$- 121.5 + 35 \cdot 4.5 - 36$

ステップ 1.2.2.3.7

$35$ に $4.5$ をかけます。

$- 121.5 + 157.5 - 36$

ステップ 1.2.2.3.8

$- 121.5$ と $157.5$ をたし算します。

$36 - 36$

ステップ 1.2.2.3.9

$36$ から $36$ を引きます。

$0$

ステップ 1.2.2.4

$4.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x - 9$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36}{2 x - 9}$

ステップ 1.2.2.5

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ を $2 x - 9$ で割ります。

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ステップ 1.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$36$

ステップ 1.2.2.5.2

被除数 $4 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$

ステップ 1.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			+	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

ステップ 1.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{3} - 18 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

ステップ 1.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 1.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

ステップ 1.2.2.5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

ステップ 1.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

ステップ 1.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} + 27 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

ステップ 1.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$

ステップ 1.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

ステップ 1.2.2.5.12

被除数 $8 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

ステップ 1.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							+	$8 x$	-	$36$

ステップ 1.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $8 x - 36$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$

ステップ 1.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$
										$0$

ステップ 1.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{2} - 3 x + 4$

ステップ 1.2.2.6

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 9 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

ステップ 1.2.4

$2 x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 9 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $2 x - 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$2 x = 9$

ステップ 1.2.4.2.2

$2 x = 9$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$2 x = 9$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{9}{2}$

ステップ 1.2.5

$2 x^{2} - 3 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$2 x^{2} - 3 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.5.2.2

$a = 2$ 、 $b = - 3$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.2.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 1.2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.4.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.2.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 1.2.5.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 1.2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.2.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.3

$9$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 1.2.5.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 1.2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 1.2.6

最終解は $(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{9}{2}, \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(\frac{9}{2}, 0)$

ステップ 2

y切片を求めます。

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ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2.3

括弧を削除します。

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2.4

$4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$ を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2.4.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$y = 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2.4.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2.4.1.4

$- 24$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 35 (0) - 36$

ステップ 2.2.4.1.5

$35$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 - 36$

ステップ 2.2.4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 - 36$

ステップ 2.2.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 - 36$

ステップ 2.2.4.2.3

$0$ から $36$ を引きます。

$y = - 36$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, - 36)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(\frac{9}{2}, 0)$

y切片： $(0, - 36)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例