微分積分例

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$

ステップ 1

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を方程式で書きます。

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

ステップ 2

x切片を求めます。

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ステップ 2.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式を $x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$ として書き換えます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.2.2.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

ステップ 2.2.2.1.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

ステップ 2.2.2.1.3.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 3 + 4$

ステップ 2.2.2.1.3.5

$- 1$ から $3$ を引きます。

$- 4 + 4$

ステップ 2.2.2.1.3.6

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

ステップ 2.2.2.1.5

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

ステップ 2.2.2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

ステップ 2.2.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.2.2.1.5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 2.2.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 2.2.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} - 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 2.2.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

ステップ 2.2.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

ステップ 2.2.2.1.5.12

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

ステップ 2.2.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

ステップ 2.2.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x + 4$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

ステップ 2.2.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

ステップ 2.2.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 2.2.2.1.6

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.2.5

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.2.5.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.5.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.2.6

最終解は $(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 2$

ステップ 2.3

点形式のx切片です。

x切片： $(- 1, 0), (2, 0)$

ステップ 3

y切片を求めます。

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ステップ 3.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 3.2

方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$y = 0^{3} - 3 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$y = 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} + 4$

ステップ 3.2.3

括弧を削除します。

$y = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 3.2.4

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 4$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 3.2.4.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 - 3 \cdot 0 + 4$

ステップ 3.2.4.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 4$

ステップ 3.2.4.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 4$

ステップ 3.2.4.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$y = 4$

ステップ 3.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, 4)$

ステップ 4

交点を一覧にします。

x切片： $(- 1, 0), (2, 0)$

y切片： $(0, 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例